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一、证明题

1． 证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故

2． 粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

（常数），

同理，可得

因此：

所以有：

与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。 试证明

的不确定关系

：

二、计算题

3． 两个电子处于自旋单态，

分别表示两个电子的

算符。设的平均值。 则:

由于

（在

表象），

（在

表象），则

而

解法二：

所以有：

解法三：

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为空间任意给定的

两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即

【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为

其中，因为两个

电子都处于自旋单态，故而

所以有：

所以有：

4． 两个自旋为

的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为

其中c 为

实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：

在稱合表象中，本征函数的编号选为：

哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：

（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。

则可知的本征值为：

依题意可知，初态波函数为：

这样，可以给出t ＞0时体系处的状态

为：

（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：

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5． 一粒子在力学量的三个本征函数所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到

其中k 为

的平均值，而

其中由

为3行的任意列矩阵，则式和

式可知

即的平均值不随时间变化.

6． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

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试用