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一、填空题

1． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

2 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

4． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。

【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

5．

一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与密顿量H 用N 或【答案】 6．

【答案】主；角；磁；

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

写出粒子在球壳 则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

中被测到的几率_____。

的跃变条件为_____。

、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

二、选择题

7． 一维自由电子被限制在x 和

处两个不可穿透壁之间

，

埃，如果

是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

则可知，较高级能量与基态能量比值为

由题意，基态能量为

8． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

9． 如果算符表示力学量应的_____。

则第一激发态能量为

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开，展开式为

那么当体系处于

的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

【答案】确定值；本征值

10．下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）

.

【答案】A

【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为

11．如两力学量算符

【答案】0

12．量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

而

本征值为n ，

于是谐振子能量为

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

三、简答题

13．能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

14．扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

15．写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】

16．假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

17．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为

18．什么是隧道效应，并举例说明。

为实函数，但

可以为复函数。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

19．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

20．如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

四、计算题

21．在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

表示时刻t 在

区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.