● 摘要
非线性发展方程是非线性科学的重要研究对象, 可以描述流体力学、等离子体物理以及光纤通讯领域中的孤波传播现象. 对非线性发展方程的可积性质及解析解的研究,有助于理解相关领域中的动力学机制, 并能为相关领域的应用提供一定的理论依据. 本论文将对若干非线性模型的可积性质、解析解及其应用进行研究.
本文的主要工作如下:
1. 研究了两个非线性发展方程的Painlevé 可积性质. 分别利用ARS 算法和WTC 算法对非线性常微分方程和偏微分方程进行了Painlevé 分析, 基于此, 还得到了广义变系数eKdV 方程Painlevé 截断下的Bäcklund 变换及解析解.
2. 研究了流体力学中描述海洋内孤立波传播的变系数eKdV 模型. 基于计算机符号计算, 应用Hirota 双线性方法, 得到了该模型的N 孤子解析解. 通过与实测波形图的对比研究, 分析了孤子的传播特性及模型中各项变系数对波速振幅等传播特性的影响.
3. 应用经典Lie 群分析的方法, 研究了广义的变系数eKdV 方程、含交叉项的变系数Schrödinger 方程、高阶变系数Hirota 方程, 求得相应的Lie 群分析、一维Lie 代数最优系统及相似约化, 并得到一些解析解. 同时, 对于变系数高阶Hirota 方程, 构造了基于Lie 群的守恒律.
4. 应用CK 直接法, 求得变系数eKdV 方程和变系数Schrödinger 方程的相似约化和解析解.
本文研究的非线性发展方程在流体力学及光纤通信等多领域中有着很重要的应用价值, 他们可以描述分层海洋中内孤立波的运动以及光纤孤波脉冲的传输问题. 作者希望本文基于符号计算所求得的非线性发展方程的孤子解, 以及对孤子方程的相关分析能够给流体力学、光纤通信以及其他非线性领域的研究带来有益的帮助.