● 摘要
算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，幂等算子及组合逼近技巧是近年来算子论中比较活跃的研究课题. 对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论,优化理论与量子物理等,通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰,同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础.
本文研究内容涉及Hilbert 空间中的两个幂等算子的几何结构,Hilbert 空间中两个幂等算子及其乘积的线性组合的值域闭性以及组合逼近三个方面的内容.全文共分三章,主要内容如下：
第一章根据空间分解理论及算子矩阵分块的技巧,利用 Hilbert 空间中正交投影算子几何表示,并以此为工具,运用正交投影算子矩阵表示,深入的研究了无限维Hilbert空间中两个闭子空间之间的几何特征，得到了关于间隙和两个子空间夹角余弦的一种新的表示，值得指出的是我们通过严密的计算和推理，进一步刻画了最小间隙的大小.
第二章主要讨论在无限维Hilbert空间中幂等算子的性质.在第二节中我们用矩阵分块的技巧重新刻划在文献[4]中 V.Ptak 提到的幂等算子的范数与到其值域和核空间上的正交投影的乘积的范数之间的关系，也就是$$parallel Mparallel=frac{1}{(1-parallelP_{{mathcal{R}}(M)}P_{{mathcal{N}}(M)}parallel^2)^frac{1}{2}}.$$文中我们做了具体证明.在第三节中,我们利用幂等算子的分块矩阵的精细表示,给出了则当~$c_1(c_2+c_3)
eq 0, c_2(c_1+c_3)
eq 0, c_1+c_2+c_3
eq0$ 时,在 ~$frac{c_1}{c_2+c_3}
otin[-1,0]$ 或者 ~$frac{c_2}{c_1+c_3}
otin[-1,0]$ 的条件下,~$c_1P+c_2Q+c_3PQ $ 的值域~${mathcal{R}}(c_1P+c_2Q+c_3PQ )$的闭性与数对~$(c_1, c_2, c_3)$ 的选取无关.
第三章我们主要研究了组合逼近技巧.组合技巧在逼近论中是一种很有效的方法，在这一章中我们主要介绍了对于 Hilbert 空间中两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$，满足 $V=V_1+V_2$ 并且$P_{V_1}$ 和 $P_{V_2}$ 分别是到两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 上的正交投影，我们用$P_{V_1}$和 $P_{V_2}$ 来组合逼近到空间 $V$ 上的正交投影 $P_V$. 而在组合逼近 $V$ 上的正交投影中又分成可加性组合逼近$$T^a = c_1P_{V_1} + c_2P_{V_2} + c_3P_{V_1cap V_2}$$与可乘性组合逼近$$T^{mc} = c_1P_{V_1} + c_2P_{V_2} + c_3P_{V_1}P_{V_2}$$ 两个方面来考虑，并且我们分别考虑了可加性组合逼近和可乘性组合逼近与到整个空间上的投影 $P_V$ 的差在范数上的估计.在这一章中定理3.2.2 推广了文献[40]中 M. Hegland, J. Garcke 与 V. Challis 的一个定理，