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一、选择题

1． 如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值 2． 如果

【答案】C

3． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

4． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

5． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D.

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那么当体系处于的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（ ）。

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

而本征值为n ，

于是谐振子能量为

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

E.

【答案】B

6． 如两力学量算符【答案】0

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

二、简答题

7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

8． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

9． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

10．现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应

一维谐振子．

11．写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】

12．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

13．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

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14．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

15．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

16．写出泡利矩阵。 【答案】

的对易关系.

三、证明题

17．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

是束缚态的波函数，

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

18．证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

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