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一、填空题

1． 总散射截面Q 与微分散射截面 【答案】

2． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即

的关系是_____。

描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

在上式两边乘以

有

并积分得

（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

【解析】由平均值定义式（3）

为确定

在上式两边乘以有

而概率应该为为定值.

3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

4． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

有

【解析】由题意考虑到正交归一化条件

并积分得

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

5．

表示_____，几率流密度表示为_____。

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与

、a 的关系是 ; 哈

【答案】几率密度；

6．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

二、简答题

7． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

8． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

9． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

11．现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

测不准关系为

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

12．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

13．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

14．什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

三、计算题

15．己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以

|

（3）对于本征态量的z 分量：

其对应的能量为：

与时间无关.

角动量：

角动

本征函数可以表示为

求氢原子的归一化本征函数

其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

其中a 为波尔半径.

16．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴