南开大学高等代数2005答案考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
南开大学2005硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数
注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！
一、计算下列行列式
11
L
1
x 1+1x 2+1L
x n +1x 21+x 1
x 22+x 2
L
x 2n +x n
=?, n ≥2 L
L
L L
x n −1x n −21+1
x n −1−22+x n 2
L x n −1+x n −2
n n
解：
由行列式性质，
11L 11x 1+1
x 2+1L x n +1x 1
x 21+x 1
x 22+x 2
L
x 2n +x n
=
x 2
1+x 1
L L
L L
L x n −1n −21+x 1
x n −1+x n −22L x n −1n +x n −2
2n x n −1+x n −211
11L 11
1L 1+
x 21+x 1
x 22+x 2
L x 2n +x n
L
L
L
L
x n −1n −21+x 1
x n −1−22+x n 2L x n −1−2
n +x n n
显然，第二式为0，连续运用此性质得
11
L
111x 1+1x 2+1L
x n +1x 1x 2
x 2
1
+x 1x 22+x 2L x 2n +x n
=x 2
1x 22
L L L L
L L x n −1n −2
x n −1−21
+x 12+x n 2
L x n −1n +x n −2
n −1n
x 1x n −12二、设齐次线形方程组
⎧⎪x 2+ax 3+bx 4=0
⎪⎨
−x 1+cx 3+dx 4
=0−ex ⎪ax 1+cx 24=0⎪⎩bx 1+dx 2−ex 3=0
的一般解以x 3, x 4为自由未知量 （1） 求 a,b,c,d,e满足的条件
（2） 求齐次线形方程组的基础解系 解：
1
1L 1x 2L x n x 22+x 2
L x 2n +x n
L
L
L
x n −1+x n −2L x n −1+x n −2
22n n
1x n x 2n =
L
1≤∏(a
i
−a j )
j
x n −1n
L
L L
L L
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