江苏大学2004年数学分析考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
机密★启用前
江苏大学2004年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效！
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1． 设a >0, σ>0，a 1=
1⎛σ⎞1⎛σ⎞
⎜⎟a +，，n =1, 2, " ，证明：数列{a n }=+a a ⎜⎟n +1n ⎜⎟a ⎠2⎝2⎝a n ⎠
收敛，并求其极限。（12分）
2． 设f 在[0, +∞)上连续，满足o ≤f (x )≤x ，x ∈[0, +∞)，设a 1≥0, a n +1=f (a n )，
件改为0≤f (x ) f 3． 设f (0)=0，f ′在原点的某邻域内连续，且f ′(0)≠0。证明lim x + x →0 n =1, 2, " ，证明：（1）{a n }为收敛数列；（2）设lim a n =t ，则有f (t )=t ；（3）若条 n →∞ (x ) =1。（10分） x 1⎧⎪f (t )dt , x ∈(a , b ]4． 证明：若f 在[a , b ]上连续增，F (x )=⎨x −a ∫a ，则F (x )为[a , b ]上 ⎪, x =a ⎩f (a ) 的单调增函数。（10分） 5． 设f 为 ⎡1⎤⎡1⎤n n , 1, 1上连续函数，证明：（1）{x f (x )}在上收敛；（2）{x f (x )}在⎢⎢⎣2⎥⎦⎣2⎥⎦ ⎡1⎤ , 1⎥上一致收敛的充要条件是f (1)=0。（12分） ⎢⎣2⎦ xy ⎧22 , +≠0x y ⎪2p 2(p >0)，试讨论函数在(0, 0)处的连续性。6． 设f (x , y )=⎨x +y ⎪0, x 2+y 2=0⎩ （10分） 7． 计算曲线积分： ∫(e AB x sin y −my )dx +(e x cos y −mx )dy ，其中m 为常数，AB 为由 1 n (0, a )到(0, 0)经过圆x 2+y 2=2ax 上半部的路线。（14分） 8． 设f (x , y )在[0, π]×[0, π]上连续，且恒取正值，求：lim n →∞ 0≤x ≤0≤y ≤π ∫∫π(sin x )(f (x , y )) d σ。 （12分） 9． 设周期为2π的可积函数ϕ(x )与φ(x )满足关系式：ϕ(−x )=−φ(x )，则给出函数ϕ(x )的 Fourier 系数a n , b n 与函数φ(x )的 Fourier系数αn , βn 之间的关系。（14分） 10． f 定义在(a , +∞)上，f 在每一个有限区间(a , b )内有界，并满足 f (x )=A 。（8分） lim (f (x +1)−f (x ))=A ，证明：lim x →+∞x →+∞x 设函数