2018年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
2． 设
证明
则
也服从
从而
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
3． 设
【答案】一方面
另一方面
4． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
，证明:
最优.
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
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，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
由此可以得到的项，有
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
存在，证明:对任意的
，
，因而
t
5． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
6． 若因为
所以有
7． 设
，即得
.
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
8． 设
证明
诸
是充分统计量.
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，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
为n 维随机变量，其协方差矩阵则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
独立，是已知常数，
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