题目：多小波的逼近阶与平衡性研究

多小波的逼近阶与平衡性研究
程 蓉
摘要：多小波（Multiwavelet）是指由两个或两个以上函数作为尺度函数生成的小波。与多小波相联系的是一个多重多分辨分析(MRAr)。称函数向量 ， ，（ ）是一个 重多分辨分析的 重尺度函数（简称多尺度函数），如果对 ， 满足：
1） ，
2） ， ，
3） ， ，
4） ，
5) 构成 子空间的Riesz基，其中 。
相应地， 在 中的正交补子空间 由 重多小波 ， ，（ ）的整平移构成。MRA 的多尺度函数满足矩阵加细方程： ，多小波函数满足： ，多尺度函数和多小波函数是传统标量尺度函数和小波函数的自然推广。由矩阵加细方程的某些矩阵性质，多尺度函数和多小波函数可同时具有正交性、对称性、紧支撑性和高逼近阶。这是多小波较之单小波的优越之处，正因为此，多小波的研究与应用日益受到科技界、工程界的重视。
通过对小波及多小波基础理论的回顾，本文首先介绍了V. Strela提出的两尺度相似变换（TST）提高尺度函数逼近阶的方法，并在此方法的基础上，构造不同的变换矩阵 ，将有限元多尺度函数及GHM尺度函数的逼近阶提高到任意整数，同时保持紧支与对称性。由于TST不能保持原函数的正交性，对构造出的GHM型尺度函数，又给出了与之双正交且具有一定逼近阶的函数族，使构造出的尺度函数族具有更高的应用价值。
其次，本文研究了“平衡性”，这一多小波具有的特殊性质。由于逼近性与平衡性有着天然的联系，而与两者相关的双无穷阵却并不相同（列向量排序正好相反），这不利于考察两者之间的具体关系。为了讨论的方便，本文将多小波的逼近性与用于定义平衡性的双无穷阵联系，得到基于此矩阵的多尺度函数具有 阶逼近的充要条件，以及一个检验尺度函数逼近阶时易于使用的定理。在这些定理的基础上，用简短的证明过程得出了具有 阶平衡的多小波系统，相应的多尺度函数必是 阶逼近的。在引入了多小波不同于单小波的插值条件后，利用同样的定理，得到具有 阶逼近的多尺度函数，如果还满足插值性，则系统必然是 阶平衡的。
最后，单小波中尺度函数具有的Coifman条件被推广到了多小波中。在定义了2重离散Coifman条件后，证明了重数 时多小波的Coifman条件与离散Coifman条件是等价的。并得出了具有 阶逼近的多尺度函数，如果同时具有 阶Coifman条件，则小波系统是一个 阶平衡系统的结论。
关键词：多小波；逼近阶；两尺度相似变换；平衡性；Coifman条件