题目：Hibert空间中框架与Riesz基的扰动及其正交分解

框架概念最早是由R．J．Duffin和A．G．Schaeffer于1952年在研究非 调和Fourier分析时提出来的，它是研究小波分析的一个重要工具，被认为是正规 正交基概念的推广，研究框架具有非常重要的现实意义．泛函分析是数学一个古 老的分支，是研究许多问题的一个有力的工具．从泛函分析角度研究框架理论已 引起了许多科学家的注意和兴趣．本文主要从泛函分析的角度用算子论的工具研 究了框架的扰动，Riesz基的扰动以及框架与Riesz基的正交分解等问题． 本文共分四章： 第一章：基本概念及预备知识．本章首先介绍了Bessel序列，框架，紧框架， 独立框架，对偶框架， Riesz基，预框架算子，框架算子等概念，研究了它们的 基本性质，并举例加以说明；接着给出了Hilbert空间中框架与算子的对应关系： Hilbert空间日的一个框架{f_i∈I对应于H到l2(I)的一个下有界的有界线性算 子，又与定义在H的正规正交基．{e_i∈I上，且满足Tel=f_i，Ⅵ∈I的有界线性 满射一一对应；另外，{f_i∈I是H的Riesz基当且仅当算子T是可逆的． 第二章：Hilbert空间中框架的扰动．本章由Hilbert空间中的框架全体构成 整个空间的一个开集这一结论出发，得到对一框架做适当平移，压缩或膨胀后仍 能得到一框架的启示，从算子的角度刻画了框架扰动的若干问题．首先，给出当 一列元素．{f_i∈I，是H的框架时，序列{入_if_i∈I=．{Tf_i∈I{f_i∈I成为框架的充分 条件；其次，用预框架算子的伴随刻画了{f_i∈I.是H的框架时，序列{g_i∈I，充分 接近{f_i∈I时也成为框架，定理(2．3．1)，定理(2．3．2)，定理(2．3．3)分别给出了具体 刻画；最后，从预框架算子的角度出发，得到了当f={f_i∈I∈是框架，g={g_i∈I， 是Bessel序列时， f土g是框架的一系列充分条件． 第三章：Riesz基的扰动．Riesz基作为框架的特殊情形，在框架理论中占有 重要地位．本章主要讨论了Hilbert空间中Riesz基的扰动，并对子空间上的扰动 做了介绍；另外，由可逆算子的扰动不变性，根据H中的Riesz基{f_i∈I是对应 于一个定义在正规正交基{ei∈I，上，且满足Tei=fi的有界线性可逆算子这一结 论，得到了一系列判断{Tei∈I是Riesz基的充分条件，如推论(3．3．1)，推论(3．3．2)． 第四章：框架及Riesz基的正交分解．框架概念是正规正交基概念的推广， 又与定义在正规正交基上的有界线性满射有着一一对应关系．本章就由算子极分 解定理出发，给出了一般框架能写成三个正交基线性组合形式的结论，并得到框 架成为Riesz基的一个充要条件是能写成两个正交基的线性组合．