2018年河北师范大学物理科学与信息工程学院911量子力学[专业学位]考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
2． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
3．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
4． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
5． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
6． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
7． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】
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的对易关系.
8． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
9． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
10．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
问
是否
依题意
二、证明题
11．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
12．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
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态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即 13．已知
亦即两个波函数对应态矢正交.
三、计算题
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（
）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
14．自旋在
方向的粒子，磁矩为置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
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