当前位置：问答库＞考研试题

2007年天津工业大学硕士研究生入学考试试题 试题编号：601 试题名称：数学分析

注意事项：1．本试卷共4道大题（共计18小题），满分150分；

2．本卷属试题卷，答案一律写在答题纸上，写在该试题卷上或草稿纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；

3．必须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题，其它笔答题均无效。

﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡

一. （本题共15小题，每小题8分，满分120分）

（1）什么数列{x n }具有性质：∀N >0, ∃ε>0, ∃n >N , x n −a <ε？

（2）计算:lim x →0x ln(1+x ) arcsin x . tan x −sin x

3x 2+x −2（3）证明：lim 2=（用ε−δ语言证明） x →12x +3x −57

n π}的上、下极限x n , x n . n →∞n →∞13

（5）用Heine 定理及数列极限的保号性定理证明函数极限的保号性定理：若（4）求数列{x n =sin x →x 0lim f (x ) =a >0，则∃δ>0, 00.

∞

（6） 求幂级数∑n 2x n −1的收敛域, 并求和.

n =1

（7） 将f (x ) =x 在[0, π]上展开成Fourier 级数的正弦级数.

（8）画出I (x ) =∫1

0t t −x dt 的草图.

（9）证明：奇函数f (x ) 的原函数为偶函数.

（10）证明：若f (x ) 在x 0的某邻域O (x 0) 内定义，则f ′(x 0) 存在的充分必要条件是∃g (x ) 在O (x 0) 定义，在x 0连续，且f (x ) =f (x 0) +(x −x 0) g (x ).

（11）计算第一型曲面积分∫∫(x +y +z ) dS , 其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0.

S

(12) 设f (x ) 在闭区间[0, a ]上连续且严格单调增加, f (0 ) = 0, g (f (x )) =x . 证明:

第1页（共2页）