题目：密度制约且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统的定性分析

    种群生态学是对给定的种群本身的动力学特征和结构的研究，生物数学作为生物学和数学之间的交叉学科，包括传统的种群动力系统模型、传染病与流行病模型、神经网络模型以及医学动力学模型，正在飞速的发展着。生物种群的捕食和被捕食行为是生态系统中的一种普遍行为，捕食-被捕食模型是描述捕食者与被捕食者系统内种群数量动态变化的微分方程。

    从1926年Volterra和Lotka分别提出Lotka-Volterra模型，
1965年Holling提出的的第II型Holling功能反应函数，到1975年Beddington和DeAngelis提出的Beddington-DeAngelis功能反应函数，捕食－被捕食系统的功能反应函数在不断发展和改进。
到目前为止，国内外这一领域的研究主要集中在下列两个方面：(1)低维Volterra种群系统的持续生存、稳定性、分支、极限环等问题。(2)在大容量的环境污染中低维种群系统的持续生存和绝灭的阈值问题。由于种群间捕食关系的普遍存在性及重要性，捕食-被捕食模型更加受到国内外学者的广泛关注。因此，在此背景下，我们研究密度制约且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统的定性分析是非常有意义的。

    本论文的研究内容及取得的创新成果主要有以下几个方面：

    1.研究自治密度制约且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统。首先，通过分析相应双曲线的位置得到系统唯一正平衡点存在的充分必要条件。其次，利用原点和边界平衡点相
应的特征方程，我们分别分析了它们的局部渐近稳定性，还利用构造Lyapunov函数分析了正平衡点的局部渐近稳定性。最后，在边界平衡点全局吸引的充分必要条件基础之上，我们进一步通过讨论极限集的类型得到系统持久的充分必要条件，这不同于利用持久性理论得到持久性的条件。
     2. 研究时滞密度制约且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统，也就是被捕食者具有阶段结构的捕食-被捕食模型。首先，我们从平衡点开始，得到系统存在唯一正平衡点的充分必要条件。其次，利用原点和边界平衡点相应的特征方程，我们分别分析了它们的局部渐近稳定性。由于正平衡点特征方程中包含指数项，使得特征方程很难求解，所以我们通过构造Lyapunov函数去分析正平衡点的局部渐近稳定性。再则，我们分别得到了边界平衡点全局吸引的充分必要条件和正平衡点全局吸引的充分条件。最后，通过讨论极限集的类型，我们进一步得到了系统持久的充分必要条件。

    3. 研究非自治密度制约且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统的持久性以及边界周期解和正周期解的唯一性。我们从持久性的定义开始，通过比较定理得到了系统持久的充分条件，紧接着，通过介绍一个特殊的集合，构造了一个更弱的充分条件保证系统是持久的。接下来，我们分别得到了边界周期解存在的充分条件。进而，为了边界周期解的唯一性，我们引进了全局吸引的定义，通过构造Lyapunov函数得到边界周期解的全局吸引性，同时证明了全局吸引可以保证边界周期解的唯一性。最后，通过Brouwer不动点定理，我们得到了系统至少存在一个正周期解或一个正平衡点。因此，通过考虑正周期解的全局吸引性，得到了正周期解唯一存在的充分条件。

     4. 研究密度制约时滞且具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的捕食-被捕食系统的稳定性和Hopf分支。在模型中不仅捕食者具有密度制约，而且被捕食者也具有密度制约，这使得我们研究的捕食-被捕食系统更符合实际的生物环境。首先，我们选取时滞作为分支参数，基于由Beretta 和 Kuang[10]提供的几何判断标准，我们主要给出正平衡点的稳定性和系统的稳定性变换。再则，我们通过引用一个条件推广了文献[10]的几何判断标准，这个条件比文献[10]中的条件更弱，且引用了提升理论。其次，把规范后的时滞系统
转化为无穷维系统，利用规范型理论和中心流形定理得到限制在中心流形上的流满足的二维常微分方程，再通过比较系数等方法具体求出确定Hopf分支稳定性、方向和周期的参数公式，从而确定出Hopf分支的性质。最后，通过数值模拟对以上理论进行了进一步的验证。

    本文不仅为生物种群的持续生长和生态系统的均衡发展提供科学依据和方法，也进一步完善生物种群中捕食-被捕食系统的稳定性和定性理论。