山东科技大学310数学分析2006考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
310数学分析
一．求下列极限（18分）：
1++⋅⋅⋅n （1）lim （2）lim n (a n −1) (a >0) n →∞n →∞n
（3）已知f (x ) 满足lim 1sin 3x −xf (x ) 3−f (x ) ，求：。 =0lim x →0x →0x 3x 2
二．证明下列结论（18分）：
（1）设定义在实数R 上的函数f (x ) 在x =0, 1两点连续，且在任何x ∈R 有
f (x 2) =f (x ) 。证明：f (x ) 为常函数。
（2）设函数f (x ) 在(−∞, +∞) 上二次连续可微，且满足|f (x ) |≤M （M 为正常数）。证明存在x 0∈(−∞, +∞) ，使得f " (x 0) =0。
三．证明下列不等式（22分）：
（1）证明不等式：1+2ln x ≤x ， (x >0)
（2）设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上可积，证明不等式： 2
[∫f (x ) g (x ) dx ]≤∫f (x ) dx ⋅∫g 2(x ) dx 。 a a a b 2b 2b
四．（22分）
（1）设f (x ) 在[0, 1]上可积，且满足：x −f (x ) =2
求∫10f (x ) dx ， ∫1
0f (x ) dx 的值。
（2）设f (x ) =
∫x 111ln(1+t ) (x >0) ，证明：f (x ) +f () =(lnx ) 2。t x 2