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一、计算题

1． 公司用两个工厂生产同一种产品，甲厂的产量为x ，乙厂的产量为y ，

其总成本函数

预计公司的总产量为30。

（1）为使总成本最低，求两厂各应生产多少? 请用拉格朗日函数求解。

（2）解释在用拉格朗日函数求解时元的经济意义。

【答案】（1）厂商成本最小化问题为:

构造拉格朗日函数:

成本最小化的一阶条件为:

解得:x=21，y=9，λ=-33。

（2）厂般来说，任何拉格朗日函数的几参数都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边际影响。故本题中，兄可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明:如果公司原先的产量为29单位，现在增至30单位，则其总成本增加33。

2． 画图说明垄断厂商短期和长期均衡的形成及其条件。

【答案】（1）短期均衡的形成及条件

垄断厂商若要获得最大利润，必须遵照MR=MC的原则。在短期内，垄断厂商无法改变不变要素的投入量，它是在既定生产规模下通过对产量和价格的同时调整，来实现MR=MC〕的利润最大化原则的。这可用图来说明。

垄断厂商的短期均衡

图中的，SMC 曲线和SAC 曲线分别为短期边际成本曲线和短期平均成本曲线。为符合利润最大化的均衡条件，将产量和价格分别调整到Q 1和P 1的水平。在短期均衡点E 上垄断厂商的平均收益为FQ 1，平均成本为GQ 1，平均收益大于平均成本，垄断厂商获得利润。单位产品的平均利润为FG ，总利润量相当于图中HP 1FG 部分的矩形面积。

垄断厂商只有在MR=SMC的均衡点上，才能获得最大的利润。这是因为，只要MR>SMC垄断厂商增加一单位产量所得到的收益增量就会大于所付出的成本增量。这时，厂商增加产量是有利的。随着产量的增加，如图所示，MR 会下降，而SMC 会上升，两者之问的差额会逐步缩小，最后达到MR=SMC的均衡点，厂商也由此得到了增加产量的全部好处。而MR

垄断厂商在MR=SMC的短期均衡点上，或者获得最大的利润，或者获得最小的亏损。 总之，垄断厂商短期均衡条件为:MR=SMC。

（2）长期均衡的形成及条件

在长期，垄断厂商是根据MR=LMC利润最大化原则来确定产量和价格的，而且，垄断厂商还通过选择最优的生产规模来生产长期均衡产量。所以，垄断厂商在长期可以获得比短期更大的利润。

如图所示，d 曲线和MR 曲线分别表示垄断厂商的市场需求曲线和边际收益曲线，LAC 曲线和LMC 曲线分别为垄断厂商的长期平均成本曲线和长期边际成本曲线。

垄断厂商的长期均衡

假定开始时，垄断厂商是在由SAC 1曲线和SMC 1曲线所代表的生产规模上进行生产。短期内垄断厂商只能按照MR=SMC原则，在现有的生产规模上将均衡产量和均衡价格分别调整为Q 1和P 1。在短期均衡点E 1上，垄断厂商获得的利润为图HP 1AB 的面积。

在长期中，垄断厂商通过对生产规模的调整，进一步扩大利润，按照MR=LMC的长期均衡原则，它的长期均衡点为E 2，长期均衡产量和均衡价格分别为Q 2和P 2，垄断厂商所选择的相应的最优生产规模由SAC 曲线和SMC 2曲线代表，此时，垄断厂商获得了更大的利润，其利润量相当于图中较大的面积IP 2FG 。

如图所示，在垄断厂商的MR=LMC长期均衡点产量上，代表最优生产规模的SAC 曲线和LAC 曲线相切于G ，相应的SMC 曲线、LMC 曲线和MR 曲线相交于E 2点，所以，垄断厂商的长期均衡条件为:MR=LMC=SMC，目π>0。

3． 假定某厂商的边际成本函数为MC=3Q2-30Q+100，且生产10单位产量时的总成本为1000。

求:（1）固定成本的值。

（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。

2【答案】（1）根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC=3Q-30Q+100

积分可得总成本函数，即有:

其中α为常数。有根据题意有Q=10时，TC=1000，即有:

解得α=500，即固定成本为500。

（2）由（1）可得相关成本函数:

4． 完全竞争行业巾某厂商的成本函数为，试求:

（1）假设产品价格为66元，利润最大化时的产量及利润总额。

（2）由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新价格为30元。在新价格下，厂商是否会发生亏损? 如果亏损，最小的亏损额为多少?

（3）该厂商在什么情况下会停止生产?

（4）厂商的短期供给函数。

【答案】（1）当P=66时，厂商的利润函数为:

利润最大化的一阶条件为:，解得Q=6（负值舍去）。此时利润总额为: