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一、简答题

1． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

2． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

时有确定的测值。

3． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

4． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

5． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

如果

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

理论根据：电矩m 矩阵元

6． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

7． 波函数么？

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

8． 能级的简并度指的是什么？

体积元中粒子出现的几率密度。

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

9． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

10．什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

二、证明题

11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

12．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

同理，可得

因此：

所以有：

试证明

的不确定关系

：

所以

三、计算题

13．粒子在二维无限深势阱中运动

，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰

的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。

【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。

（2）基态的一级能量修正

在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令

则可计算出微扰

所以微扰可表示成

的矩阵表达式

所以

则

得：

14．在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数

，

代表

（自旋向上）的状态波函数，

代表

简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态

代表自旋向上的概率

，

代表自旋向下的概率，归一化表示为

：

15．在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：