2017年福建师范大学物理与能源学院844量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、简答题
1. 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
2. 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后,所描写的体系量子状态是否改变? 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释,描写体系量子状态的波函数是概率波,由于
粒子必定要在空间中的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
3. 波函数是否描述同一状态?
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同,描写的是同一状态。
4. 试设计一实验,从实验角度证明电子具有自旋,并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场,则电子在磁场方向上有上下两取向,再让电磁通过一非均匀磁场,则电子分为两束。
5. 什么是隧道效应,并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应,如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
6. 能级的简并度指的是什么?
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
7. 归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为
即用任意相因子归一化。
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如果对整个空间积分等于1,则对整个空间积分也等于1。
去乘以波函数,既不影响体系的量子状态,也不影响波函数的
8. 写出电子在外电磁场【答案】
中的哈密顿量。
9. 什么是定态?若系统的波函数的形式为处于定态?
问是否
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态,定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是,体系能量有E 和-E 两个值,体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
10.厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质? 【答案】本征值为实数,本征矢为正交、归一和完备的函数系。
二、证明题
11.证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符? 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数,则
即是实数。
因为是厄密算符,于是有
12.(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数. (2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. (3)对于角动量算符
证明它是厄米算符,并且求解其本征方程.
因为存在
数
(2)证:因为而(3)因为
所以
即正交
具有周期性,
而
所以
设本征方程为
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【答案】(1)证:对于厄米算符
所以
即本征值为实
即为厄米算符。
其中为本征值,上式可改写为易解出C 为积分常数,可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制,
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的,相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13.自旋为时,粒子处于(2)求出t >0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
(其中为实常数)的粒子,处于均匀外磁场
中,设t=0
(1)求出t >0时的波函数; 【答案】(1)体系的哈密顿算符为在泡利表象中,哈密顿算符的本征解为:在t= 0时,粒子处于为了求出
的状态,即
在泡利表象中的具体形式,需要求解满足的本征方程:
解得:于是,有:
由于,哈密顿算符不显含时间,故/>0时刻的波函数为:
(2)因为
所以是守恒量,它的取值几率与平均值不随时间改变,换句话说,只要计
算t=0时的取值几率就知道了t >0时的取值几率。 由于
的取值几率为:
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故有: