● 摘要
Lotka-Volterra模型在种群动力学的理论研究中具有非常重要的地位.在过去的几十年里,经典的Lotka-Volterra模型已被广泛研究.
由于种群间捕食关系的普遍存在性及重要性,捕食-食饵模型更加受到国内外学者的广泛关注.针对具体的数学模型,一个关键的因素即所谓的“功能反应函数”,它表示在单个捕食者的情况下,食饵的种群密度关于时间的变化率.它不仅受食饵密度大小的影响,而且受捕食者本身密度的影响.~Beddington-DeAngelis反应函数改进了Holling-Tanner反应函数和具有比率依赖的反应函数,较为合理地反映了捕食者与食饵的相互作用关系.
本文运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识,特别是抛物型方程(组)和对应椭圆型方程(组)的理论和方法,研究了一类带B-D反应项的捕食-食饵模型的动力学行为,包括正平衡解的存在性、多重性、稳定性、唯一性以及解的一致持续生存.所涉及的数学理论包括:上下解方法、比较原理、全局分歧理论、稳定性理论、拓扑度理论等.本文主要有两章内容:
第一章研究了该模型正平衡解的性质,可分为三部分:第一部分运用极值原理、上下解方法和锥映射不动点指标理论得到正平衡解存在的充分条件;第二部分利用分歧理论给出了平衡态系统正分歧解的结构,并讨论了局部分歧解的稳定性;第三部分利用特征值扰动理论、标准椭圆正则化理论、Sobolev嵌入定理及指标理论讨论了正平衡解的多重性、唯一性及稳定性,并讨论了参数对解的影响.
第二章研究了该模型解的长时行为.运用上下解方法和稳定性理论,对解的持续性进行讨论,并依此给出该捕食-食饵模型正解一致持续的充分条件.
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