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西北大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数）

1、（20分）设A,B 均为n 阶方阵, A 中的所有元素均为1, B 中的除元素为1外, 其余元素均为0. 问A,B 是否等价? 是否合同? 是否相似? 为什么?

2、（20分）设A=。v 是的A 最大的特征值。求A 的属于v 的特征子空间的基。

3、（20分）设f （x ）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m 和一个奇数n 使得f （m ）和f （n ）都是奇数，则f （x ）没有整数根。

4、（20分）设A 是一个2n ×2n 的矩阵。证明：如果对于任意的2n ×2矩阵B ，矩阵方程AX =B 都有解，则A 是可逆的。

5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B 与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。

6、（20分）设A ，B 是n ×n 实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：

（1）AB=O,O为零矩阵

（2）秩(A)+秩(B)=n

7、（20分）设V 是复数域上的n 维线性空间，q ，p 是V 上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：

（1）如果k 是q 的特征值，那么V （k ）是的不变子空间。

（2）存在一组基使得q 、p 在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8、（10分）设A ，B ，C 分别是m ×m,n ×n,m ×n 矩阵（m>n）, 且AC=CB,C的秩为r. 证明:A 和B 至少有r 个相同的特征值。

注意：7题中V(k)在原题中k 为V 的下标。