● 摘要
区间值度量空间作为一种特殊的模糊度量空间, 它具有一些良好的性质. 本博士论文讨论了此类空间的拓扑性质、完备化以及此类空间中连续映射的等价刻画、不动点定理等内容. 模糊数作为特殊的模糊集在模糊数学的研究和应用中具有很重要的作用. 关于模糊数的研究有许多方面, 比如模糊数的距离、模糊数的排序以及模糊数的逼近问题等. 本博士论文讨论了区间值度量空间具有的相关性质, 在已有模糊数距离定义的基础上给出了模糊数集上的三种度量, 再根据它们的大小关系定义了模糊数集上的两个区间值度量并讨论了其性质; 进一步, 讨论了两类特殊模糊数的重心及其相互确定以及这两类模糊数的逼近问题. 具体内容如下:
第1章, 预备知识. 主要回顾模糊集、区间数以及模糊数的一些基本概念、相关运算以及一些基本性质等.
第2章, 先给出了区间值度量空间的定义. 接着研究了此类空间中连续映射的等价刻画、此类空间具有的拓扑性质(如$T_{2}$分离性、正则分离性、正规分离性、完全正则分离性、完全正规分离性、第一可数性、仿紧性)以及此类空间的完备化. 最后, 定义了实数空间中的几种区间值度量.
第3章, 基于区间数的运算法则和相关性质, 证明了区间值度量空间中三种类型的不动点定理, 即单个映射的不动点定理、两个可交换映射对和不可交换映射对的公共不动点定理、集值弱压缩映射的不动点定理.
第4章, 研究了两类特殊模糊数及其重心之间的相互确定关系. 这两类模糊数分别是广义梯形模糊数(它以实数、区间数、三角模糊数、梯形模糊数为特例)和服从中间型$Gamma-$分布的模糊数. 拟研究的问题: 已知模糊数怎样确定其重心(包括考虑其特殊情形)? 若给定模糊数的重心、宽度、左右扩展等条件如何确定这个模糊数? 基于模糊数的距离定义还讨论了这两类模糊数在保持重心和核宽度不变条件下的逼近问题.
第5章, 基于模糊数的距离给出了模糊数集上的三种度量$
ho_{i}
(i=1,2,3)$并研究了它们的大小关系, 定义了模糊数集上的两个区间值度量并讨论了其相关性质. 然后利用模糊集的贴近度给出了模糊集上的几种度量(弱度量)和区间值度量(弱区间值度量).
论文最后提出了需要进一步研究的问题.
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