● 摘要
在自然环境中, 可以通过建立数学模型来直观刻画各种生物种群发展的内在规律及其发展趋势.“反馈控制变量”的引入既使得种群发展更富有研究意义, 又给生物数学研究者创造出更大的研究空间. 本文研究了一类具有分段常数变量与干扰的单种群反馈控制模型和一类带有反馈控制和分段常数变量的捕食-被捕食模型正平衡态的存在惟一性、稳定性与分支问题.
在生态系统中, 由于受到气候、自身季节性繁殖及迁徙、人类活动等因素的影响, 种群数量在一定区域或一定时间内会发生间断性的变化. 因此, 本文第二章提出了具有分段常数变量和干扰反馈控制的单种群模型首先依据特征值理论和Jury判据, 得到模型正平衡态局部渐近稳定性的充分条件；其次按照中心流形定理和分支理论得出该模型产生Neimark-Sacker分支的充分条件, 借助规范化理论研究了分支的稳定性与分支方向；最后结合实例中图像说明定理条件与结论的正确性与可实现性.
近年来, 种群间的相互作用关系是数学学者们研究的重点. 通常而言, 种群之间有非常复杂的生态关系, 这些关系形成了变化万千的生物网, 特别是在人为作用的干扰下, 种群数量随时间变化的研究更富有实际意义. 为了物种间保持生态平衡及多样性, 人为控制种群的数量是有必要的. 本文第三章给出了如下模型
利用与第二章相似的理论分析研究了模型在第一象限内的动力学行为, 最终通过数值模拟验证理论结果的可实现性, 同时展现出种群间更为复杂的动力学行为.
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