2018年浙江大学环境与资源学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3． 设A 为
的解为【答案】由
利用反证法，假设以有
解矛盾
，故假设不成立，则
由.
得
有
有惟一解知
则方程组. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B
的特征值全大于0
且B 是对称矩阵，因此B
是正定矩阵，且
为可逆矩阵，
且方程组只有零解.
使.
所
只有零
有非零解，
即存在
有非零解，这与
4．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
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若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为故其通解为k 为任意常
数.
二、计算题
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2
）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.
6． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，
有公共的特征向量. 则A 不可逆，0
是A 的特征值
；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量