题目：球面上点分布问题的一些研究

本文探讨了欧几里得球面上点的分布问题，该问题的魅力如此之大在于它很容易理解，但在大多数情况下却很难解决。Tammes问题是最大化#空间单位球面上n个点两两之间的最小距离(这里距离为欧几里得距离)。它与一些在组合优化中很难的装箱问题密切相关，它也是Hiriart-Urruty在优化与矩阵分析领域的一系列新的猜想和开放性问题中罗列的9个公开问题的第5个。问题困难之处在于这是一个非凸规划问题，有多个局部极小点，而且目标函数不光滑，因而寻找全局最小非常困难。对于三维问题，人们目前仅仅知道n ≤ 12或n = 24时的精确解。本文内容主要分为以下几部分：(i) 文章首先介绍了单位球#上点的定义和基本性质， 了解到球面上点的最好上界通常是通过线性规划技术获得的，基本思想来源于Delsarte， 并着重介绍了线性规划界及Levenshtein界的性质。(ii) 接下来探讨了#空间上n点Tammes问题的半正定规划松弛， 得出#上n点Tammes 问题的半正定规划松弛， 其形式与d无关， 并证明其最优值等价于Rankin第一上界，进一步，证明了该半正定规划解唯一， 且秩为n − 1，从而半正定松弛对且只对#上n ≤ d + 1点Tammes问题是紧的。针对d = 3的情形，研究了解的渐近性质，揭示了半正定规划松弛的渐近弱性。(iii) 最后，从博弈论的角度研究Tammes问题，首先建立#上n点Tammes问题的纳什均衡， 并证明Tammes问题的全局最优解即是Tammes问题的纳什均衡点。进一步证明了迭代局部搜索算法所求得的局部最小点就是纳什均衡点，并以此作为Tammes问题的近似最优解。本文建立了局部迭代搜索算法并编程实现，证明了算法具有收敛性，数值实验表明算法是有效的，当然还需要进一步的改进。