● 摘要
现实世界几乎所有系统本质上均具有空间分布特征，其系统状态不仅与时间有关还依赖于空间位置，比如化工过程、振动过程(包括弦振动、梁振动、波动)、核反应过程等。这类系统称为分布参数系统(Distributed Parameter Systems, DPS)。不同于由常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)描述的集中参数系统(Lumped Parameter Systems, LPS)，DPS通常是由偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)或偏微分-常微分方程或积分-微分方程或抽象空间中的微分方程描述。DPS有时也称为无穷维系统，这是因为相较于具有有限个自由度的LPS，此类系统具有无穷多个自由度。囿于数学工具，有时候人们会把DPS控制问题简化成LPS来处理。这是因为对于LPS的控制，已经有了相对完善的解决方案。一般来说，对于一个DPS，为了得到更好的控制效果与更高的精确度，有必要直接从DPS的原始模型出发来解决其控制问题。这样做也可以从根本上避免因采用有限维简化模型而出现控制溢出与观测溢出等现象。 由于非线性现象广泛出现在实际工程系统中，非线性系统的控制设计问题一直受到广泛关注，国内外学者提出许多有价值的研究方法。在这些方法中，模糊控制方法已经被广泛应用于解决非线性系统控制设计问题。在现有非线性系统模糊控制理论基础上，如何解决基于原始系统模型的非线性DPS模糊控制设计问题是一个既具有理论价值又具有重要实际价值的开放性研究课题。鉴于此，本博士论文在深入分析前人工作的基础上，系统提出非线性DPS模糊PDE建模方法与空间微分线性矩阵不等式(Spatial Differential Linear Matrix Inequality, SDLMI)处理方法，在统一理论框架下解决非线性DPS模糊控制设计问题，并通过将部分理论结果应用于解决化工领域中非等温活塞流反应器与催化棒温度分布的控制设计问题验证所提方法的有效性。此外，本文提出的方法具有如下特点：不仅适用于无穷维分布控制，还可处理有限执行器分布控制；不但适用于点控制，而且还能解决边界控制问题；既适用于非线性已知的DPS，又可处理带有未知非线性的DPS；不仅可处理齐次边界条件，还可处理非齐次边界条件；处理非线性PDE系统，同时能处理非线性耦合ODE-PDE系统。 在第1章对本课题相关背景与现有结果进行深入分析与系统总结的基础上，第2章分别给出非线性DPS模糊PDE建模方法(包括空间依赖扇区非线性方法、空间依赖模糊划分状态空间方法与分布模糊逻辑系统建模方法)、SDLMI处理方法与SDLMI问题的求解算法，并简单介绍模糊PDE模型的并行分布补偿(Parallel Distributed Compensation, PDC)策略与非并行分布补偿(Non-parallel Distributed Compensation, non-PDC)策略。通过一些简单数值例子，直观地说明所给出的模糊PDE建模方法与SDLMI求解算法。此外，本章还简单介绍论文涉及的一些基本概念，如PDE、广义函数、算子半群与发展方程等。为降低论文结果的保守性，本章还以引理形式给出一些重要的不等式放缩技术。这部分结果为本论文的后续研究工作奠定理论基础与技术基础。针对非线性一阶双曲型PDE系统，利用Lyapunov直接法与分步积分技术，第3章分别给出基于无穷维分布执行器的模糊指数镇定状态反馈控制设计方法、受限模糊H∞状态反馈控制设计方法与保性能分布模糊输出反馈控制设计方法，以及基于有限执行器的分布模糊输出跟踪控制设计方法。通过将所建议的设计方法应用于一类Lotka-Volterra型非线性DPS的反馈控制问题验证了方法的有效性。 第4章研究非线性抛物型PDE系统模糊控制设计问题。结合经典比例-积分-微分(Proportional-integral-derivative, PID)控制与时空等价的特点，根据PDC策略与Lyapunov直接法，为一类非线性抛物型PDE系统分别提出基于无穷维分布执行器的分布模糊比例-空间微分(Proportional-spatial Derivative, P-sD)控制与混合H2/H∞分布模糊比例-空间积分(Proportional-spatial integral, P-sI)饱和控制设计方法。在此基础上，针对无穷维分布执行器工程上不容易实现的缺点，利用Lyapunov直接法、向量型Writinger’s不等式与分步积分技术，为一类带有空变系数的非线性抛物型PDE系统给出基于有限数目执行器的模糊分布状态反馈控制方法。针对仅可获得有限数目离散分布执行器与传感器情形下，为一类非线性抛物型PDE系统给出基于LMI的分布模糊指数镇定控制设计方法。针对仅可获得边界执行器的情形，为非线性抛物型PDE系统给出基于LMI的模糊边界控制设计方法。所建议方法的有效性可通过仿真实验加以验证。 不同于第3章与第4章中由一阶双曲型PDE与抛物型PDE描述的非线性DPS，第5章将为分别由带有未知非线性项的波方程与Euler-Bernoulli梁方程描述的DPS给出模糊自适应控制设计方法，并利用耗散算子压缩半群理论证明闭环系统在稳定条件下存在唯一经典解。针对边界条件带有未知非线性项的线性波方程，给出边界模糊自适应控制设计方法。最后数值仿真实验结果验证了所建议方法的有效性。 第6章针对由耦合ODE-PDE描述的非线性DPS，给出基于模型的模糊控制设计方法，其系统模型主要为以下三类：耦合ODE-一阶双曲型PDE模型、耦合ODE-抛物型PDE模型与耦合ODE-梁方程模型。已有文献证明由耦合ODE-一阶双曲型PDE模型描述的DPS可用于描述含有输入时滞的LPS。在现有LPS与时滞系统采样控制基础上，针对仅有ODE状态信息可得情形下，为由耦合ODE-抛物型PDE描述的非线性DPS给出模糊保性能采样控制设计方法。为降低设计方法的保守性，针对隶属度函数引入额外的不等式约束。针对一类由耦合ODE-梁方程模型描述的非线性DPS给出基于Lyapunov直接法的模糊控制设计方法。首先引入关于梁方程状态的微分变换，将梁方程转化为标准梁方程系统，然后根据变换后的系统模型设计控制方法。设计方法的有效性通过数值仿真实验加以验证。 第7章在对描述化学反应器的热量平衡与物料平衡的一阶双曲型PDE模型深入分析基础上，针对不同反应器工况，给出相应的误差系统模型。利用第3章3.2节与3.4节提出的控制设计方法，分别设计分布模糊指数镇定与分布模糊输出反馈控制器。在第8章中，基于能量守恒原理，给出非线性抛物型PDE模型描述催化反应棒温度的时空分布。利用第4章4.5节与4.6节给出的模糊控制方法，分别设计基于有限离散分布执行器与传感器的模糊温度分布控制器与基于边界执行器的模糊温度边界控制器。这两章的研究内容是本文提出的非线性DPS模糊控制理论在工程应用上初步尝试，既丰富本文的理论研究成果，又为工程实践提供理论和技术指导。