中科院数学分析2001考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
中国科学院数学与系统科学研究院2001年硕士研究生入学试题
考试科目：数学分析 考试代码： 331
注:用< >表示下标
一. (16分)
(1)已知: c 求:
lim(1+x)^(c/x)＝∫ t(c^t)dt, c.
x →0 -∞
(2)设x ＞0且x ≠1,
则有:
(ln x)/(x-1)＜x^(-1/2)
二. (12分)
证明f(x)＝1/x在[a,+∞) (其中a>0) 上一致连续,
g(x)=sin(1/x)在(0,1)上不一致连续.
三. (12分)
求曲面(x^2+y^2+z^2)^3＝(a^3)xyz (a＞0) 所围成的立体的体积.
四. (12分)
设a<1>和b<1>是任意两个正数, 并且a<1>≤b<1>, 还设
a
b
求证:
序列a<1>,a<2>,...和b<1>,b<2>,...均收敛，并且具有相同的极限.
五. (12分)
设V 是由椭圆面(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)＝1的切平面和三个坐标平面 所围成的区域的体积，求V 的最小值.
六. (12分) ∞
设f 为连续实值函数, 并且对所有x, 有f(x)≥0, 还设∫f(x)dx＜∞ 0
求证: n
(1/n)∫xf(x)dx→∞ (n→∞)
七. (12分) b b
如果广义积分∫|f(x)|dx (其中a 是瑕点) 收敛, 那么∫f(x)dx收敛, a a