● 摘要
近30年来，非线性科学与神经科学交叉融合，形成了神经动力学研究方向。神经系统展示出了复杂的非线性动力学现象，其电活动在神经信息处理中发挥着重要作用。神经的混沌放电节律和噪声经过随机（自）共振效应诱发的随机节律是最有代表性的复杂放电节律模式。混沌是确定性系统产生的带有随机性的行为；而随机共振是确定性系统和噪声的协同作用；两者都强调了确定性与随机性的统一。考虑到现实神经系统一定含有分子热涨落等带来的随机因素，区分现实神经系统的混沌和随机节律是认识现实神经放电的一个重要问题。利用非线性时间序列分析，对在现实动物（实验性神经起步点和海马CA1区锥体层神经元）实验中发现的和数学模型数值仿真的复杂的放电节律进行分析,区分了混沌和随机神经放电节律，揭示了复杂放电节律的动力学行为、统计特征、统计特征变化规律，丰富了现实神经系统的混沌和随机放电节律的内涵。该研究对于非线性动力学和神经科学而言，都有重要的基础性支撑作用，并且有一定的理论和实用价值。第一章首先概述了本文研究目的和意义；其次介绍随机和混沌神经复杂放电节律的动力学研究进展；最后介绍本文的研究工作。第二章介绍了神经元及其生物电现象，神经放电中的数学模型和动力学概念，神经电生理实验，以及时间序列分析方法。第三章研究了生物学实验产生的混沌和随机节律的动力学。给出了多类实验性神经起步点产生的位于不同分岔序列中的混沌节律，表现出了非周期性、确定性(短时可预报和存在周期轨道)和初值敏感性等特征。对实验中的位于静息和周期1之间的整数倍节律和随机on-off节律，给出了数学模型数值仿真结果，依据统计特征、统计特征变化规律、参数位置等的相似性，两类节律分别被认为是超临界、亚临界Hopf分岔附近的随机节律。该结果也提供了对on-off节律的一个新的合理的解释。第四章研究了ISI统计直方图具有多峰分布特征的随机和混沌的神经放电节律的动力学。该类节律曾与随机共振的研究密切相关。本研究区分了所有峰完全指数衰减、第一峰偏低和第一峰偏高三类节律。将放电转换为由0和1组成的Markov过程，分析发现，完全指数衰减的整数倍节律是随机更新过程，Markov过程不相关，衰减斜率由事件0的概率决定；第二类和第三类节律则是随机非更新过程，Markov过程分别呈现负相关和正相关，连续两个放电之间分别有抑制和兴奋作用，衰减率由0的概率和00的联合概率决定。这就揭示了指数衰减的原因和意义。给出了第一类和第三类的生物学实验示例。此外，数值仿真了1类非指数衰减的随机多峰分布节律，以及1类指数衰减和2类非指数衰减的混沌多峰分布节律，全面认识了随机和混沌的多峰分布节律。第五章研究了一类特殊随机放电节律的动力学。在生物学实验发现以及在随机Chay模型中模拟了位于加周期分岔序列中随机节律：位于周期k与周期k+1（k=1,2,3,4,5）节律之间，其行为是周期k和周期k+1簇放电的随机跃迁。一方面，该节律具有类似混沌的特征：确定性结构的回归映射、短期可预报、存在周期轨道、正李雅普诺夫指数。另一方面，将周期k（k+1）轨道定为事件（event），事件间期（Inter-event interval，IEI）具有随机性特征，例如IEI序列是不可预报的。说明该随机放电节律不是混沌，而是两类具有确定结构的放电簇的随机跃迁,而确定性结构为簇内ISI的顺序。结果给出了区分随机和混沌节律的实用指标。