题目：小波框架与小波紧框架的构造

框架理论最初来源于信号处理，1952年，Duffin和Schaffer在研究非调和傅立叶级数时，提出了Hilbert空间框架的概念。当小波理论蓬勃发展时，Daubechies，Grossmann和Meyer 把连续小波变换的理论与框架理论相结合定义了仿射框架(或称小波框架)。如今的框架已经广泛应用于小波分析、信号分析、图象处理、数值计算、Banach空间理论、Besov空间理论等理论和应用领域的研究。
本文着重讨论了 上小波框架理论，及小波紧框架的构造。本文中引用的结论大都是此方面的经典结论或是最新的结论。他们代表了此领域的研究水平和发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的结果。本文共分四部分。
第一章是绪论，综述了小波分析的产生、发展和框架理论的产生、发展，另外，还简介了有关框架的对偶的理论。
第二章介绍了框架的基本性质。框架是一类特殊的Bessel序列，框架是把Hilbert空间中的规范正交基满足的Parseval等式推广到比较一般的序列所满足的双边不等式的结果。由于 ，都有 ，因此说明了框架分解对噪声有一定的抵抗力，框架的冗余性越大，则这种削减噪声的能力越强，这里 就是反映了噪声的数据。这正是研究框架性质的目的所在。
第三章第一部分研究了 上的小波框架的判定和性质。所谓小波框架是指，把一个函数 通过伸缩变换 和平移变换 后，得到的序列如果构成 的框架，则称 是 上的小波框架。对小波框架的判定是很困难的。函数 首先须满足可允许性条件 ，从而对函数限制条件较强。本文对紧支撑和非紧支撑小波框架给出了一些判定的方法。
第二部分列出了小波框架的对偶的一些结果。因为小波框架的对偶框架一般不是小波框架。本文认为文献中的充要条件的结论是很好的，故列出此结论。
第四章证明了不存在满足插值性的小波紧框架。在满足一定的期望达到的性质下，首先设计一个低通滤波器，再利用不等式 得到三个滤波器，从而得到小波紧框架。所得的高通滤波器中有一个满足对称性，一个满足反对称性。设计所得到的滤波器都含有一个自由参数，此参数的引入大大增加了选择余地。最后给出了滤波器的算法，并对长为4和6的小波紧框架给出了实例。