题目：流体力学中几个KdV和NLS型方程的多孤子研究

孤子是在某一区域内集中了几乎全部的能量及振幅，并能在空间给定区域稳定存在的波。在相互作用后孤子能保持原有的特性，表现出粒子性。流体、等离子体和大气等领域中的孤子现象可用非线性发展方程来描述。现有的解析方法，如Painleve分析、双线性方法、Backlund变换、Darboux变换和Wronskian技巧等，可用来求出一些非线性发展方程的解析解。本文借助计算机符号计算和几种解析方法，对流体力学中几个Korteweg-de Vries（KdV）和非线性Schrodinger（NLS）型方程的可积性质和解析解进行了研究，分析了孤子的形成机理、传播特性和相互作用机制。这些结果可用来解释流体和等离子体中的相关非线性现象。本文将包含以下几方面的内容： 第一章介绍了研究依据及意义，流体力学中孤子研究历史，孤子形成机制、类型及特点，流体力学中求解非线性发展方程的几种解析方法，以及本文研究工作和结构安排。 第二章研究了流体和等离子体中的一个变系数非等谱KdV-修正KdV（KdV-mKdV）方程，该方程可用来描述底部变化河道和近海的浅水波、非均匀等离子体的离子-声波以及气液两种混合态的压力波。检测了该方程在Painleve意义下的可积性，得到了该模型的可积性条件。通过AKNS程序构造了该方程的Lax对。通过变量代换，得到了双线性形式，由此得到了该方程的多孤子解、呼吸子解和Backlund变换。研究了孤子传播，多孤子之间、孤子-呼吸子和呼吸子-呼吸子的相互作用。结果表明：方程系数的改变影响孤子形状，孤子的压缩和展宽依赖于非均匀系数的正负号，在孤子和呼吸子的相互作用中孤子振幅为正或负并不影响孤子的传播方向。这些结果有助于解释具有逐渐变化深度的双层液体中的界面波、轴向和周向伸长率不同动脉血管的脉冲波的传播特性。 第三章研究了流体中的一个广义五阶KdV方程，可用来描述浅的密度分层流体中的有限振幅内波，存在障碍物的自由表面流动，以及经过障碍物的分层流动。通过Darboux变换，构造了该方程在系数约束条件下的多孤子解。在孤子解的基础上分析了孤子的传播和相互作用：除了速度，孤子振幅和宽度不受方程中系数的影响；相互作用之后每个孤子的振幅、速度和波形保持不变。从该方程对应的Lax对出发，利用广义Darboux变换和Taylor展开，推出了该方程的一阶和二阶有理解。上述结果可以用于解释存在障碍物的自由表面流动、分层流动规律。 第四章研究了一个由Jaulent-Miodek梯队推出的（2+1）维非线性发展方程，可约化为修正KP方程，用来描述二维浅水波中的小振幅波和未磁化等离子体中的离子-声波。通过双线性方法构造了该方程的多孤子解，并在孤子解的基础上分析了孤子的传播和相互作用，结果表明在不同条件下孤子之间发生弹性和非弹性相互作用。此外，还证明了该方程具有Gramm型Pffaffian形式的N孤子解，方程本身可以写成一个Pfaffian恒等式。 第五章研究了一个耦合NLS型方程组。通过变量代换，得到了双线性形式，由此得到了该方程组的多孤子解。研究了孤子的传播和相互作用，孤子之间发生弹性相互作用，还出现了暗孤子、反暗孤子、M型和W型孤子。在相互作用后，孤子性质保持不变，孤子轨线依赖于对应的色散关系。还发现孤子的振幅、速度受到方程组中系数的影响。这些结果可用来解释流体、等离子体、大气中的相关非线性现象。 第六章研究了一个（2+1）维修正Hesenberg铁磁系统，可用来描述各向同性铁磁体磁化矢量的运动，以及反应-扩散过程中的生物形态形成过程。通过双线性方法，得到了该系统的多孤子解，还证明了该系统具有双朗斯基行列式形式的N孤子解。孤子之间出现迎面和追赶弹性相互作用。通过渐进分析，解释了两个孤子之间的弹性相互作用。孤子之间还能发生非弹性相互作用，如孤子聚合和裂解。在孤子传播过程中，对两个分量的乘积，具有较小振幅的孤子运动速度比具有较大振幅的孤子大；对于第三个分量，具有较大振幅的孤子运动速度比具有较小振幅的孤子大。对于第三个分量，孤子可显示出solitoff（多方向衰减）属性。至于三孤子之间的相互作用，可看到迎面弹性相互作用。 最后的结束语对全篇论文进行了总结，并列出了对未来工作的展望。