2018年中国农业大学园艺学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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一、选择题
1．
非齐次线性方程组
A. B. C. D.
时.
方程组时.
方程组时，
方程组时.
方程组
中未知数个数为n , 方程个数为m ，系数矩阵4的秩为r . 则（ ）W 解
有唯一解
有啡-解
有无穷多解 则方程组所以C 项，
当
的增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵不为有解；B 项，当A 为方阵时方程组有惟一解的充要，
时
不一定等于r , 方程组不一定有解；D 不一定有解.
的解，只要系数矩阵A 为（ ）。
方程组都是齐次线性方程组
【答案】B
AC 两项，
【解析】因为即
D 项，
因为
因此排除.
不是方程组的解，因此排除.
线性无关，所以
至少有两个线性无关的解，故
【答案】A 【解析】A 项，
由于
0的行数为m
,
条件是矩阵A 可逆，
即项，当
2．
要使
时，
不能保证
3．
设 则多项式f （x ）的x 的可能的最高方次是（ ）。
A.1
B.2 C.3
D.4 【答案】A
【解析】将f （x ）的第1行的-1倍加到第2, 3, 4行，然后按第1行展开，得
若
4． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
则f （x ）是常数，
若
则/（X ）是一次多项式.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
5．
是齐次方程组
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B
【解析】n 个方程n
个未知数的齐次方程组又是
6． 设A 是三阶矩阵
，m ，则=（ ）
A.km B.
C. D.
是A 的伴随矩阵，己知A 的每行元素之和为k
，
的每行元素之和为
充分条件并非必要条件.
可见
：
有非零解能保证
但时得
故
有非零解的（ ）。
【答案】A
【解析】法一：A 的每行元素和为k ，
故两边左乘
得
的每行元素和为m ，故
故
法二：将A 的其余各列加到第1列，且利用A 的每行元素之和为k , 得
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