● 摘要
研究流体力学中的许多现象和问题都可以归结为对非线性偏微分方程的求解与研究。孤子是非线性波的一种，许多非线性偏微分方程都具有孤子解。本文首先回顾了孤子理论的发展历史，介绍了流体力学中的几个典型孤子方程以及孤子的形成机制，并简要介绍求解非线性偏微分方程几种常用的解析方法，并利用上述方法对流体力学中的几个高阶非线性Schrödinger（HNLS）方程进行了可积性分析，在可积性分析给出的系数约束的基础上求得了两种不同类型的孤子解，并分析了孤子的传播和相互作用特性。这些结果可以用于解释流体中相关的非线性现象。本论文的工作包括以下几个方面：
第一章是绪论部分，主要介绍了流体力学中的孤子、孤子的发展历史、流体力学中的典型孤子方程以及孤子的形成机制。
第二章介绍了本文研究非线性偏微分方程用到的几种解析方法，例如Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）方法、Painlevé分析和Hirota方法。AKNS方法和Painlevé分析可用于检验非线性偏微分方程的可积性，Hirota方法可用于求非线性偏微分方程的解析解，通常为孤子解。
第三章研究均匀流体中的一个HNLS方程。首先通过Painlevé分析对该HNLS方程进行检测，得到方程通过Painlevé分析时所满足的系数约束，在这组系数约束下，我们构造该方程的Lax对。通过相似变换，我们将该HNLS方程和一个复修正Korteweg-de Vries
（mKdV）方程联系起来并利用Hirota方法求得HNLS方程的单暗孤子解和双暗孤子解。基于求得的孤子解，我们还对暗孤子的传播和相互作用进行了分析。可以发现群速度色散（GVD）系数会对暗孤子的传播方向产生影响；通过选择GVD系数和波数，我们得到了暗孤子相互作用两种不同的模式，分别是追击型相互作用和迎面型相互作用。此外，我们还求得了该HNLS方程的Jacobi椭圆函数解和其相对应的单孤子解。
第四章研究非均匀流体中的一个变系数HNLS（vcHNLS）方程，在一组Painlevé可积约束下，我们利用Hirota方法将该vcHNLS方程化为其双线性形式，并求得该vcHNLS方程的单反暗孤子解和双反暗孤子解。我们在本章中还作图研究了反暗孤子解的传播特性及其相互作用。结果显示，反暗孤子所在的背景形状与增益/衰减系数相关，而三阶色散系数会影响暗孤子的传播轨迹。另一方面，我们还得到了双反暗孤子的追击型相互作用模式，并且这种相互作用是弹性的。
第五章是本文的结论。