2018年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
2． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
3． 设
服从大数定律.
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得
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所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
为n 维随机变量，其协方差矩阵则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
4． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
这表明:
5． 总体
（1）证明
服从参数为1的指数分布. ，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
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故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
存在，证明:对任意的
，
6． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
7． 设
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
试证明:当n 充分大时
，
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
8． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
且密度函数所以
是偶函数，假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关.
为证明
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