中科院高等代数2007考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
中国科学院研究生院
2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数
考生须知：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1． (10分) 设多项式f (x ), g (x ), h (x ) 只有非零常数公因子，证明：存在多项式u (x ), v (x ), w (x ) ，使得 u (x ) f (x ) +v (x ) g (x ) +w (x ) h (x ) =1。
2． (10分) 设m , n , p 都是非负整数，证明： (x 2+x +1) 整除(x 3m +x 3n +1+x 3p +2) 。
3． (10分) 设A 是n 阶实数矩阵，A ≠0，而且A 的每个元素都和它的代数余子式相等。证明A 是可逆矩阵。
4． (25分) 计算n 阶行列式
2cos α
1
D n =12cos α112cos α1
1O O
O 2cos α
1 12cos α
5. (20分) 设α1, α2, L , αk ∈R n 是齐次线性方程组AX =0的基础解系，s , t ∈R ，β1=s α1+t α2, L , βk −1=s αk −1+t αk , βk =s αk +t α1。试问：s , t 应该满足什么关系，使得β1, L , βk −1, βk 是方程组AX =0的基础解系，反之，当β1, L , βk −1, βk 是方程组AX =0的基础解系时，这个关系必须成立。
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