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一、填空题

1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

2 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

写出粒子在球壳 则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

中被测到的几率_____。

的跃变条件为_____。

3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

4． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

5． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

6． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的

二、简答题

7． 波函数

是否描述同一状态？

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

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测不准关系为

9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

10．写出在【答案】

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

表象中的泡利矩阵。

11．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：

圆偏光选择定则：

问

是否

12．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

13．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

14．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

依题意

三、计算题

15．在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数

，

代表

（自旋向上）的状态波函数，

代表

简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态

代表自旋向上的概率

，代表自旋向下的概率，归一化表示为：

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16．算符

相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为

如

所以，它的本征值为

则

故

是电子自旋算符

经么正变换而得。试求出它的本征值和

相应的本征值在表象中的表示：

本征值为本征表示为

本征值为本征表示为

17．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为

现在受到微扰的作用，

微扰矩阵元为

和c 都是实数. 用微扰公式求

其中

分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得

n=2时，将m=l, 3代入II 式可得

n=3时，将m=l, 2代入II 式可得

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