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2004年云南大学硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《高等代数A 卷》

一、（20分）令S 是一些n 阶方阵组成的集合，关于任意

3A , B ∈S, AB ∈S, 且（AB ）=BA . 证明（∀A ，B ∈S ）AB =BA .

二、（20分）设f (x ), g (x ), h (x ), k (x ) 为实序数多项式，它们适合下列关系： （x 2+1) h (x ) +(x +1) f (x ) +(x −2) g (x ) =0

（x 2+1) k (x ) +(x −1) f (x ) +(x +2) g (x ) =0

三、（20分）计算行列式 . 证明：f(x),g(x)都能被x +1整除. 2

a n (a-1) n L L (a-n) n

∆= L L L L a n -1 (a-1) n -1 L L (a-n) n -1

a (a-1) 1 L L a -n

1 L L 1

x +y +z =1 四、（30分）解线性方程组： ax +by +cz =d .

a 2x b 2y c 2z d 2++=

五、（30分）令V 为数域P 上一n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，且在P 中有n 个不

L ，A n −1α线性无关的充分必要同的特征根λ1, λ2, L , λn , α∈V . 证明：α，A α，A 2α，

条件是α=2，L ，n . ∑α, 其中α是A 相应于λ的特征向量，i =1，i i i

i =1n

六、（20分）设f (x 1, x 2, x 3, x 4) =2x 1x 2+2x 1x 3+4x 1x 4+2x 2x 3, 试分别在实数域上和复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.

七、（10分）设A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数ε, εE +A 为正定矩阵.