● 摘要
量子关联是比量子纠缠更为广泛的是一种量子特性, 是量子信息处理的重要资源, 因而是量子信息中一个非常热门的研究课题. Bender 等人于1998 年发现并不是所有量子系统的哈密尔顿量都是自伴的, 提出了PT-对称理论, 此后, 这一发现也引起了大批学者的广泛关注. 本文利用算子论与矩阵论的方法, 给出了量子关联性的数学刻画以及保持量子关联性的量子信道的数学结构, 通过引入了抽象的PT-框架以及CPT-框架的定义, 建立了PT-对称量子理论的数学基础, 讨论了构成 CPT-框架的算子C 的存在性, 在此基础上, 研究了PT-对称量子系统的时间演化方程与绝热逼近问题. 本文共分五章, 主要内容如下:
第一章介绍了本文主要内容的研究意义和现状, 并列出了本文要用到的符号, 定义以及定理.
第二章研究了量子关联性的刻画以及量化问题. 首先, 利用一个量子态在一组正规正交基下的矩阵表示来给出它是经典关联的三个充分必要条件, 进一步讨论了两个经典关联态的凸组合问题, 并得到了全体经典关联态构成的集合是全体量子态之集的完备且无处稠密的紧子集. 基于我们关于经典关联态的刻画, 给出了量子态关联性的量化函数Q(
ho), 证明了一个量子态
ho是量子关联的当且仅当Q(
ho)大于零. 特别地, 双量子比特系统中的 Werner 态W_lambda是量子关联的当且仅当lambda
e 0.25. 最后, 利用类似的方法, 研究了三体混合态的关联性的分类与刻画.
第三章研究了保持量子关联性的局部量子信道. 首先研究保持经典关联的局部量子信道的结构, 在第二章中给出的经典关联的刻画基础上, 我们得到了保持经典关联的局部量子信道, 保持交换性的局部量子信道以及每个子系统上保持交换性的量子信道之间的关系, 进一步, 在双量子比特系统中, 我们给出了保持经典关联的局部量子信道的一般结构形式. 最后, 还讨论了保持交换性的量子信道的凸组合问题. 另外, 我们探讨了两族矩阵之间存在量子信道以及广义酉运算将其一一对应的充分必要条件. 作为应用, 我们得到了给定输入输出态之间存在酉的对偶量子计算机的充分必要条件.
第四章研究了PT-对称量子力学中的抽象数学理论. 引入了Hilbert 空间上的PT-框架以及 CPT-框架的定义, 证明了PT-对称的闭稠定线性算子的谱和点谱关于实轴都是对称的, 并得到C^d上的线性算子H具有完整PT-对称性当且仅当它具有d个不同的特征值且对应的特征态也是PT的特征态. 给定 Hilbert 空间上的一个CPT-框架{C,P,T}, 定义其诱导的一个新的正定内积, 称为CPT-内积, 建立了一个闭稠定线性算子的CPT-伴随算子和 Dirac 伴随算子(普通内积意义下的伴随算子)之间的关系, 并且证明了具有CPT-框架的PT-对称算子是CPT-自伴的当且仅当它是对称的, 这时, 它一定相似于一个自伴算子. 最后, 讨论了构成CPT-框架的算子C的存在性.
第五章探讨了PT-对称量子力学中的时间演化和绝热定理. 我们考虑了哈密尔顿量与时间t相关时的情形. 对于一个PT-对称的哈密尔顿量H(t), 利用第四章定义的 Hilbert 空间上的CPT-框架以及其诱导的CPT-内积, 引入了它的C(t)PT-框架, 进而给出了由它描述的满足PT-对称量子力学原理的Schrodinger 方程. 最后, 得到了PT-对称量子力学中绝热逼近的量化充分条件及逼近误差估计.